??《二重積分典型例題及答案》——寫給正在刷題的你，溫柔又堅定
最近很多小伙伴私信我：“老師，二重積分到底怎么練才能不懵？” 其實啊，不是你不會，是你還沒遇到那個“懂你的題目”。今天就帶你看一道經(jīng)典例題，像朋友一樣陪你慢慢解，看完你會覺得：原來數(shù)學(xué)也可以很暖。
例題：計算二重積分 ?D (x + y) dxdy，其中區(qū)域 D 是由直線 x = 0, y = 0 和 x + y = 1 所圍成的三角形區(qū)域。
??第一步：畫圖定邊界（這是最容易被忽略的關(guān)鍵?。? 別急著套公式，先在腦中想象這個三角形——它像一塊小蛋糕，三個頂點是 (0,0)、(1,0) 和 (0,1)。我們決定先對 x 積分，再對 y 積分（也可以反過來，但這次我們選“從下往上”的順序）。
??第二步：寫出積分限 當(dāng) y 從 0 到 1 時，x 的范圍是從 0 到 1 y（因為 x + y ≤ 1）。所以原式變成： ∫?1 ∫?^{1?y} (x + y) dx dy
??第三步：內(nèi)層積分先算（別怕，這一步超簡單） 把 y 當(dāng)常數(shù)，對 x 積分： ∫?^{1?y} (x + y) dx = [?x2 + yx]?^{1?y} = ?(1?y)2 + y(1?y)
?第四步：外層積分搞定 現(xiàn)在算 ∫?1 [?(1?y)2 + y(1?y)] dy 展開一下： = ∫?1 [?(1 ? 2y + y2) + y ? y2] dy = ∫?1 (? ? y + ?y2 + y ? y2) dy = ∫?1 (? ? ?y2) dy = [?y ? ?y3]?1 = ? ? ? = ?
?最終答案：二重積分結(jié)果是 ?！是不是比你想的簡單？
??小貼士： 記住，二重積分的本質(zhì)是“面積 × 高度”，這里就是求一個曲頂柱體的體積； 善用圖形輔助理解，別讓抽象符號嚇跑你； 真正的高手，不是會做所有題，而是能從一道題里看到整個世界的結(jié)構(gòu)。
如果你也在備考或教學(xué)路上，不妨把這道題抄進(jìn)筆記本，配上一句：“今天我也學(xué)會了溫柔地和數(shù)學(xué)相處?！?? 二重積分 高等數(shù)學(xué) 考研數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)打卡 理科女孩的日常
