你有沒(méi)有在深夜刷題時(shí)，突然被一個(gè)看似簡(jiǎn)單卻卡住的問(wèn)題絆倒？比如——arcsinx的定義域到底是什么？
別急，我懂你。作為一位寫了五年數(shù)學(xué)干貨的自媒體作者，我見(jiàn)過(guò)太多人把“反正弦函數(shù)”當(dāng)成普通函數(shù)來(lái)套公式，結(jié)果一到考試就翻車。今天我們就用最細(xì)膩的方式，帶你重新認(rèn)識(shí)這個(gè)常被忽略的“小細(xì)節(jié)”。
問(wèn)：arcsinx的定義域到底是多少？
答：它的定義域是[1, 1]。也就是說(shuō)，只有當(dāng)x ∈ [1, 1]時(shí)，arcsinx才有意義。
聽(tīng)起來(lái)很簡(jiǎn)單對(duì)吧？但問(wèn)題來(lái)了——為什么不是所有實(shí)數(shù)都可以？
讓我舉個(gè)真實(shí)案例：上周我收到一位粉絲留言，她正在準(zhǔn)備考研數(shù)學(xué)，遇到一道題：求arcsin(2)的值。她一臉困惑地問(wèn)我：“老師，這不就是sin?1(2)嗎？為啥算不出來(lái)？”
那一刻我特別理解她的挫敗感。因?yàn)楹芏嗳藵撘庾R(shí)里覺(jué)得“反正弦”就像“平方根”一樣，隨便一個(gè)數(shù)都能算。但其實(shí)，arcsinx本質(zhì)上是sin(x)的反函數(shù)，而sin(x)的值域本來(lái)就是[1, 1]??！
你可以這樣想：sin(x)最大只能取到1（比如x=π/2），最小只能取到1（比如x=3π/2）。所以它的反函數(shù)arcsinx，自然也只能接受[1, 1]之間的輸入，否則就“沒(méi)得反”了。
再舉個(gè)生活化的例子：就像你家門鎖只能識(shí)別特定的鑰匙，如果拿一把不存在的鑰匙去試，門當(dāng)然打不開(kāi)。arcsinx也是這樣——它只認(rèn)[1, 1]范圍內(nèi)的“鑰匙”，超出這個(gè)區(qū)間，它直接“拒絕服務(wù)”。
最后提醒一句：很多同學(xué)會(huì)混淆定義域和值域。arcsinx的定義域是[1, 1]，但它的值域是[π/2, π/2]，這是兩個(gè)完全不同的概念。建議你畫(huà)個(gè)圖記下來(lái)，或者收藏這篇筆記反復(fù)看。
如果你也曾在某個(gè)深夜因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題卡殼過(guò)，請(qǐng)點(diǎn)贊+收藏，讓下次迷茫時(shí)能立刻找到答案。畢竟，數(shù)學(xué)不是冷冰冰的符號(hào)，而是我們每天都在用的生活邏輯。
我是你們的老朋友，專注寫“聽(tīng)得懂的數(shù)學(xué)”。下期講arccosx的定義域，記得來(lái)看哦～
