大家好，今天我們要來探討一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：xarctanx的不定積分到底是什么？這個(gè)問題看似簡(jiǎn)單，但要深入理解其中的原理和步驟，還是需要花點(diǎn)時(shí)間的。別急，讓我們一起從基礎(chǔ)開始，一步步拆解這個(gè)積分問題。
首先，讓我們明確一下問題是什么。我們需要計(jì)算的是函數(shù)xarctanx的不定積分，也就是找到一個(gè)函數(shù)F(x)，使得F'(x) = xarctanx。換句話說，我們要找到一個(gè)函數(shù)，當(dāng)對(duì)其求導(dǎo)時(shí)，結(jié)果正好是x乘以反正切函數(shù)arctanx。
接下來，我需要回憶一下不定積分的基本方法。通常，對(duì)于這種涉及反三角函數(shù)的積分問題，分部積分法是一個(gè)強(qiáng)大的工具。分部積分法的公式是：∫u dv = uv ∫v du。因此，關(guān)鍵在于選擇合適的u和dv，使得剩下的積分部分更容易處理。
好的，讓我們開始動(dòng)手計(jì)算。設(shè)u = arctanx，那么du是什么呢？根據(jù)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，我們知道d/dx arctanx = 1/(1 + x2)。因此，du = 1/(1 + x2) dx。接下來，dv = x dx，那么v是什么呢？對(duì)x積分，v = (1/2)x2。
現(xiàn)在，我們把分部積分公式代入：∫x arctanx dx = uv ∫v du = arctanx (1/2)x2 ∫(1/2)x2 (1/(1 + x2)) dx。
接下來需要計(jì)算剩下的積分部分：∫(x2)/(1 + x2) dx。這個(gè)積分看起來有點(diǎn)復(fù)雜，但我們可以簡(jiǎn)化一下。注意到分子x2可以表示為(1 + x2) 1，因此，我們可以將積分拆分為兩個(gè)部分：∫(1 + x2)/(1 + x2) dx ∫1/(1 + x2) dx = ∫1 dx ∫1/(1 + x2) dx。
計(jì)算這兩個(gè)積分：∫1 dx = x + C，而∫1/(1 + x2) dx = arctanx + C。因此，剩下的積分部分就是x arctanx + C。
現(xiàn)在，將所有部分帶回原式：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx [x arctanx] + C = (1/2)x2 arctanx x + arctanx + C。
接下來，我們可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化這個(gè)結(jié)果：將arctanx的項(xiàng)合并，得到(1/2)x2 arctanx + arctanx x + C = arctanx(1/2x2 + 1) x + C。
不過，通常我們會(huì)將結(jié)果寫成更簡(jiǎn)潔的形式，比如提取公共因子或者合并常數(shù)項(xiàng)。因此，最終的不定積分結(jié)果可以表示為：(x2 arctanx)/2 x + arctanx + C。
到這里，我們已經(jīng)完成了xarctanx的不定積分計(jì)算。不過，為了確保結(jié)果的正確性，我們可以對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，看看是否能得到原來的被積函數(shù)xarctanx。
讓我們對(duì)F(x) = (x2 arctanx)/2 x + arctanx + C求導(dǎo)：F'(x) = [2x arctanx + x2(1/(1 + x2))]/2 1 + 1/(1 + x2)。
化簡(jiǎn)一下：F'(x) = x arctanx + (x2)/(2(1 + x2)) 1 + 1/(1 + x2)。觀察一下，(x2)/(2(1 + x2)) + 1/(1 + x2) = (x2 + 2)/(2(1 + x2)) = (x2 + 2)/(2x2 + 2) = (x2 + 2)/(2(x2 + 1))。
進(jìn)一步化簡(jiǎn)：F'(x) = x arctanx + (x2 + 2)/(2(x2 + 1)) 1。將(x2 + 2)/(2(x2 + 1))拆分為x2/(2(x2 + 1)) + 2/(2(x2 + 1)) = x2/(2(x2 + 1)) + 1/(x2 + 1)。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + x2/(2(x2 + 1)) + 1/(x2 + 1) 1。注意到1/(x2 + 1) 1 = (1 (x2 + 1))/(x2 + 1) = x2/(x2 + 1)。
于是，F(xiàn)'(x) = x arctanx + x2/(2(x2 + 1)) x2/(x2 + 1) = x arctanx x2/(2(x2 + 1))。
看起來這里有一個(gè)小問題，因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是得到x arctanx，而這里多了一個(gè)x2/(2(x2 + 1))項(xiàng)。這說明我們的計(jì)算過程中可能有哪里出錯(cuò)了。讓我們重新檢查一下積分過程。
回想一下，當(dāng)我們計(jì)算∫(x2)/(1 + x2) dx時(shí)，我們將其拆分為∫1 dx ∫1/(1 + x2) dx，得到x arctanx + C。然而，正確的拆分應(yīng)該是∫(x2 + 1 1)/(1 + x2) dx = ∫1 dx ∫1/(1 + x2) dx = x arctanx + C。
因此，回到原式，∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (x arctanx) + C = (1/2)x2 arctanx x + arctanx + C。
現(xiàn)在，我們對(duì)F(x) = (1/2)x2 arctanx x + arctanx + C求導(dǎo)：F'(x) = (x2/(2(1 + x2)) + x arctanx) 1 + 1/(1 + x2)。
化簡(jiǎn)：F'(x) = x2/(2(1 + x2)) + x arctanx 1 + 1/(1 + x2) = x arctanx + [x2/(2(1 + x2)) + 1/(1 + x2)] 1。
觀察中括號(hào)內(nèi)的部分：x2/(2(1 + x2)) + 1/(1 + x2) = (x2 + 2)/(2(1 + x2)) = (x2 + 2)/(2x2 + 2) = (x2 + 2)/(2(x2 + 1))。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + (x2 + 2)/(2(x2 + 1)) 1。
現(xiàn)在，將(x2 + 2)/(2(x2 + 1))拆分為x2/(2(x2 + 1)) + 2/(2(x2 + 1)) = x2/(2(x2 + 1)) + 1/(x2 + 1)。
于是，F(xiàn)'(x) = x arctanx + x2/(2(x2 + 1)) + 1/(x2 + 1) 1。
注意到1/(x2 + 1) 1 = (1 (x2 + 1))/(x2 + 1) = x2/(x2 + 1)。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + x2/(2(x2 + 1)) x2/(x2 + 1) = x arctanx x2/(2(x2 + 1))。
看起來還是有問題，因?yàn)槲覀兤谕鸉'(x) = x arctanx，但這里多了一個(gè)負(fù)項(xiàng)。這說明我們?cè)诜e分過程中可能哪里出錯(cuò)了。實(shí)際上，正確的積分結(jié)果應(yīng)該是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)ln(1 + x2) + C。
哎呀，看來我在分部積分后的處理上有誤。正確的步驟應(yīng)該是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx ∫(1/2)(1 + x2)/(1 + x2) dx = (1/2)x2 arctanx ∫(1/2) dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)x + C。
哦，原來如此！我之前在計(jì)算∫(x2)/(1 + x2) dx時(shí)犯了錯(cuò)誤，正確的處理應(yīng)該是∫(x2)/(1 + x2) dx = ∫1 dx ∫1/(1 + x2) dx = x arctanx + C。因此，整個(gè)積分過程應(yīng)該是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (x arctanx) + C = (1/2)x2 arctanx x + arctanx + C。
不過，這依然無法得到正確的導(dǎo)數(shù)結(jié)果。實(shí)際上，正確的不定積分結(jié)果應(yīng)該是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)ln(1 + x2) + C。
看來我在處理分部積分后的積分部分時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤。正確的做法是，在分部積分后，剩下的積分∫(x2)/(1 + x2) dx 應(yīng)該被正確計(jì)算。讓我們重新計(jì)算一次：∫(x2)/(1 + x2) dx = ∫1 dx ∫1/(1 + x2) dx = x arctanx + C。
因此，整個(gè)積分過程應(yīng)該是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (x arctanx) + C = (1/2)x2 arctanx x + arctanx + C。
現(xiàn)在，我們對(duì)F(x) = (1/2)x2 arctanx x + arctanx + C求導(dǎo)：F'(x) = (x2/(2(1 + x2)) + x arctanx) 1 + 1/(1 + x2)。
化簡(jiǎn)：F'(x) = x arctanx + x2/(2(1 + x2)) + 1/(1 + x2) 1。
將x2/(2(1 + x2)) + 1/(1 + x2) = (x2 + 2)/(2(1 + x2)) = (x2 + 2)/(2x2 + 2) = (x2 + 2)/(2(x2 + 1))。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + (x2 + 2)/(2(x2 + 1)) 1。
觀察到(x2 + 2)/(2(x2 + 1)) = (x2 + 1 + 1)/(2(x2 + 1)) = 1/2 + 1/(2(x2 + 1))。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + 1/2 + 1/(2(x2 + 1)) 1 = x arctanx 1/2 + 1/(2(x2 + 1))。
看起來還是有問題，因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是得到x arctanx，而這里多了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)和一個(gè)分式項(xiàng)。這說明我們的計(jì)算過程仍然有誤。實(shí)際上，正確的積分結(jié)果應(yīng)該是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)ln(1 + x2) + C。
看來我在分部積分后的處理上混淆了步驟。正確的分部積分過程應(yīng)該是：設(shè)u = arctanx，dv = x dx，則du = 1/(1 + x2) dx，v = (1/2)x2。
因此，∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx ∫(1/2)x2 (1/(1 + x2)) dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)∫x2/(1 + x2) dx。
接下來，計(jì)算∫x2/(1 + x2) dx。我們可以將分子x2表示為(1 + x2) 1，因此，∫x2/(1 + x2) dx = ∫1 dx ∫1/(1 + x2) dx = x arctanx + C。
因此，原積分變?yōu)椋?1/2)x2 arctanx (1/2)(x arctanx) + C = (1/2)x2 arctanx (1/2)x + (1/2)arctanx + C。
現(xiàn)在，我們對(duì)F(x) = (1/2)x2 arctanx (1/2)x + (1/2)arctanx + C求導(dǎo)：F'(x) = (x2/(2(1 + x2)) + x arctanx) 1/2 + 1/(2(1 + x2))。
化簡(jiǎn)：F'(x) = x arctanx + x2/(2(1 + x2)) + 1/(2(1 + x2)) 1/2。
將x2/(2(1 + x2)) + 1/(2(1 + x2)) = (x2 + 1)/(2(1 + x2)) = 1/2。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + 1/2 1/2 = x arctanx，這正是我們希望得到的被積函數(shù)！所以，最終的正確結(jié)果是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)x + (1/2)arctanx + C。
或者，可以將常數(shù)項(xiàng)合并，得到更簡(jiǎn)潔的表達(dá)式：∫x arctanx dx = (1/2)(x2 + 1) arctanx (1/2)x + C。
總結(jié)一下，計(jì)算xarctanx的不定積分的關(guān)鍵在于正確應(yīng)用分部積分法，并且在處理剩下的積分部分時(shí)要小心，避免錯(cuò)誤地拆分或簡(jiǎn)化。通過一步步的推導(dǎo)，我們最終得到了正確的結(jié)果，并且驗(yàn)證了其正確性。
好了，現(xiàn)在我們已經(jīng)完整地計(jì)算出了xarctanx的不定積分，并且確保了結(jié)果的正確性。希望這篇文章對(duì)大家有所幫助，也歡迎在評(píng)論區(qū)留言討論！??
今天，我們來探討一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：xarctanx的不定積分到底是什么？這個(gè)問題看似簡(jiǎn)單，但要深入理解其中的原理和步驟，還是需要花點(diǎn)時(shí)間的。別急，讓我們一起從基礎(chǔ)開始，一步步拆解這個(gè)積分問題。
首先，我們需要明確問題：我們需要計(jì)算的是函數(shù)xarctanx的不定積分，也就是找到一個(gè)函數(shù)F(x)，使得F'(x) = xarctanx。換句話說，我們要找到一個(gè)函數(shù)，當(dāng)對(duì)其求導(dǎo)時(shí)，結(jié)果正好是x乘以反正切函數(shù)arctanx。
接下來，我需要回憶一下不定積分的基本方法。對(duì)于這種涉及反三角函數(shù)的積分問題，分部積分法是一個(gè)強(qiáng)大的工具。分部積分法的公式是：∫u dv = uv ∫v du。因此，關(guān)鍵在于選擇合適的u和dv，使得剩下的積分部分更容易處理。
好的，讓我們開始動(dòng)手計(jì)算。設(shè)u = arctanx，那么du是什么呢？根據(jù)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，我們知道d/dx arctanx = 1/(1 + x2)。因此，du = 1/(1 + x2) dx。接下來，dv = x dx，那么v是什么呢？對(duì)x積分，v = (1/2)x2。
現(xiàn)在，我們把分部積分公式代入：∫x arctanx dx = uv ∫v du = arctanx (1/2)x2 ∫(1/2)x2 (1/(1 + x2)) dx。
接下來需要計(jì)算剩下的積分部分：∫(x2)/(1 + x2) dx。這個(gè)積分看起來有點(diǎn)復(fù)雜，但我們可以簡(jiǎn)化一下。注意到分子x2可以表示為(1 + x2) 1，因此，我們可以將積分拆分為兩個(gè)部分：∫(1 + x2)/(1 + x2) dx ∫1/(1 + x2) dx = ∫1 dx ∫1/(1 + x2) dx。
計(jì)算這兩個(gè)積分：∫1 dx = x + C，而∫1/(1 + x2) dx = arctanx + C。因此，剩下的積分部分就是x arctanx + C。
現(xiàn)在，將所有部分帶回原式：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx [x arctanx] + C = (1/2)x2 arctanx x + arctanx + C。
接下來，我們可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化這個(gè)結(jié)果：將arctanx的項(xiàng)合并，得到(1/2)x2 arctanx + arctanx x + C = arctanx(1/2x2 + 1) x + C。
不過，通常我們會(huì)將結(jié)果寫成更簡(jiǎn)潔的形式，比如提取公共因子或者合并常數(shù)項(xiàng)。因此，最終的不定積分結(jié)果可以表示為：(x2 arctanx)/2 x + arctanx + C。
到這里，我們已經(jīng)完成了xarctanx的不定積分計(jì)算。不過，為了確保結(jié)果的正確性，我們可以對(duì)結(jié)果求導(dǎo)，看看是否能得到原來的被積函數(shù)xarctanx。
讓我們對(duì)F(x) = (x2 arctanx)/2 x + arctanx + C求導(dǎo)：F'(x) = [2x arctanx + x2(1/(1 + x2))]/2 1 + 1/(1 + x2)。
化簡(jiǎn)一下：F'(x) = x arctanx + (x2)/(2(1 + x2)) 1 + 1/(1 + x2)。觀察一下，(x2)/(2(1 + x2)) + 1/(1 + x2) = (x2 + 2)/(2(1 + x2)) = (x2 + 2)/(2x2 + 2) = (x2 + 2)/(2(x2 + 1))。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + (x2 + 2)/(2(x2 + 1)) 1。
觀察到(x2 + 2)/(2(x2 + 1)) = (x2 + 1 + 1)/(2(x2 + 1)) = 1/2 + 1/(2(x2 + 1))。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + 1/2 + 1/(2(x2 + 1)) 1 = x arctanx 1/2 + 1/(2(x2 + 1))。
看起來還是有問題，因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是得到x arctanx，而這里多了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)和一個(gè)分式項(xiàng)。這說明我們的計(jì)算過程仍然有誤。實(shí)際上，正確的積分結(jié)果應(yīng)該是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)ln(1 + x2) + C。
看來我在分部積分后的處理上混淆了步驟。正確的分部積分過程應(yīng)該是：設(shè)u = arctanx，dv = x dx，則du = 1/(1 + x2) dx，v = (1/2)x2。
因此，∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx ∫(1/2)x2 (1/(1 + x2)) dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)∫x2/(1 + x2) dx。
接下來，計(jì)算∫x2/(1 + x2) dx。我們可以將分子x2表示為(1 + x2) 1，因此，∫x2/(1 + x2) dx = ∫1 dx ∫1/(1 + x2) dx = x arctanx + C。
因此，原積分變?yōu)椋?1/2)x2 arctanx (1/2)(x arctanx) + C = (1/2)x2 arctanx (1/2)x + (1/2)arctanx + C。
現(xiàn)在，我們對(duì)F(x) = (1/2)x2 arctanx (1/2)x + (1/2)arctanx + C求導(dǎo)：F'(x) = (x2/(2(1 + x2)) + x arctanx) 1/2 + 1/(2(1 + x2))。
化簡(jiǎn)：F'(x) = x arctanx + x2/(2(1 + x2)) + 1/(2(1 + x2)) 1/2。
將x2/(2(1 + x2)) + 1/(2(1 + x2)) = (x2 + 1)/(2(1 + x2)) = 1/2。
因此，F(xiàn)'(x) = x arctanx + 1/2 1/2 = x arctanx，這正是我們希望得到的被積函數(shù)！所以，最終的正確結(jié)果是：∫x arctanx dx = (1/2)x2 arctanx (1/2)x + (1/2)arctanx + C。
或者，可以將常數(shù)項(xiàng)合并，得到更簡(jiǎn)潔的表達(dá)式：∫x arctanx dx = (1/2)(x2 + 1) arctanx (1/2)x + C。
總結(jié)一下，計(jì)算xarctanx的不定積分的關(guān)鍵在于正確應(yīng)用分部積分法，并且在處理剩下的積分部分時(shí)要小心，避免錯(cuò)誤地拆分或簡(jiǎn)化。通過一步步的推導(dǎo)，我們最終得到了正確的結(jié)果，并且驗(yàn)證了其正確性。
好了，今天的學(xué)習(xí)就到這里。希望這篇文章對(duì)大家有所幫助，也歡迎在評(píng)論區(qū)留言討論！??
