今天，我想和大家分享一道關(guān)于錯(cuò)位相減法的例題，幫助大家更好地理解這種數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。錯(cuò)位相減法在求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)非常有用，特別是當(dāng)數(shù)列是由等差數(shù)列和等比數(shù)列相乘構(gòu)成的時(shí)候。下面我們就通過(guò)一個(gè)具體的例題來(lái)詳細(xì)講解如何運(yùn)用錯(cuò)位相減法解決這類問(wèn)題。
首先，我們來(lái)看一個(gè)具體的例題：求數(shù)列1×2 + 2×22 + 3×23 + … + n×2?的前n項(xiàng)和S?。這是一道典型的錯(cuò)位相減法應(yīng)用題，我們需要通過(guò)一步步的推導(dǎo)來(lái)找到S?的表達(dá)式。
好的，讓我們開(kāi)始吧！首先，我們將這個(gè)數(shù)列用S?表示出來(lái)：
$$S_n = 1×2 + 2×22 + 3×23 + … + n×2?$$
接下來(lái)，我們計(jì)算2S?，即將整個(gè)數(shù)列每一項(xiàng)都乘以2：
$$2S_n = 1×22 + 2×23 + 3×2? + … + n×2^{n+1}$$
現(xiàn)在，我們將S?和2S?進(jìn)行相減，即用2S?減去S?：
$$2S_n S_n = (1×22 + 2×23 + 3×2? + … + n×2^{n+1}) (1×2 + 2×22 + 3×23 + … + n×2?)$$
通過(guò)觀察，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)右邊的很多項(xiàng)可以相互抵消。具體來(lái)說(shuō)，除了首項(xiàng)1×2和末項(xiàng)n×2^{n+1}，其他項(xiàng)都會(huì)相互抵消，只剩下了：
$$S_n = 1×2 + (2×22 1×22) + (3×23 2×23) + … + (n×2? (n1)×2?) n×2^{n+1}$$
進(jìn)一步化簡(jiǎn)，可以得到：
$$S_n = 2 + (22 + 23 + … + 2?) n×2^{n+1}$$
接下來(lái)，我們需要計(jì)算括號(hào)內(nèi)的等比數(shù)列求和。等比數(shù)列的首項(xiàng)是22，公比是2，共有n1項(xiàng)。根據(jù)等比數(shù)列求和公式：
$$\text{等比數(shù)列和} = a_1 × \frac{r^{k} 1}{r 1}$$
代入數(shù)值得到：
$$22 + 23 + … + 2? = 22 × \frac{2^{n1} 1}{2 1} = 4 × (2^{n1} 1) = 2^{n+1} 4$$
將這個(gè)結(jié)果代入之前的表達(dá)式中，得到：
$$S_n = 2 + (2^{n+1} 4) n×2^{n+1}$$
繼續(xù)化簡(jiǎn)：
$$S_n = 6 + 2^{n+1} n×2^{n+1} = 6 + (1 n) × 2^{n+1}$$
為了使表達(dá)式更簡(jiǎn)潔，我們可以將其整理為：
$$S_n = (n 1) × 2^{n+1} + 2$$
這就是我們通過(guò)錯(cuò)位相減法得到的數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式。通過(guò)這個(gè)例題，我們成功地應(yīng)用了錯(cuò)位相減法來(lái)求解一個(gè)復(fù)雜的數(shù)列和。這種方法的關(guān)鍵在于通過(guò)乘以一個(gè)常數(shù)（這里是2）并相減，從而將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)換為可以求和的形式。
總結(jié)一下，錯(cuò)位相減法的步驟大致如下：
1. 寫(xiě)出原數(shù)列的前n項(xiàng)和S?。
2. 計(jì)算S?乘以一個(gè)常數(shù)（通常是數(shù)列中等比部分的公比）得到一個(gè)新的數(shù)列2S?。
3. 用2S?減去S?，觀察并化簡(jiǎn)得到一個(gè)可以求和的新數(shù)列。
4. 求出新數(shù)列的和，并解出S?。
這種方法在解決等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘的數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)非常有效。通過(guò)這個(gè)例題，我們不僅掌握了錯(cuò)位相減法的技巧，還深刻理解了這種方法背后的數(shù)學(xué)原理。
最后，我們?cè)倩仡^看一下這個(gè)例題的解答過(guò)程，確保每一步都是正確的。首先，我們正確地寫(xiě)出了S?和2S?，并進(jìn)行了相減。接著，我們正確地化簡(jiǎn)并求出了等比數(shù)列的和，最后得到了S?的正確表達(dá)式。因此，這個(gè)例題的解答是正確的，可以放心使用。
通過(guò)這個(gè)例題的學(xué)習(xí)，我們不僅掌握了錯(cuò)位相減法的解題技巧，還增強(qiáng)了解決實(shí)際問(wèn)題的能力。這種數(shù)學(xué)方法在高考和各類考試中經(jīng)常被考察，掌握好它對(duì)于提高數(shù)學(xué)成績(jī)非常有幫助。
如果你也對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，不妨多找一些類似的例題來(lái)練習(xí)，熟練掌握錯(cuò)位相減法和其他數(shù)學(xué)技巧。數(shù)學(xué)的世界是廣闊的，只要我們?cè)敢馓剿?，就一定能發(fā)現(xiàn)更多有趣的知識(shí)和方法。
