二重積分是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要概念，它可以用來計(jì)算二維區(qū)域上的函數(shù)的累積量。對(duì)于剛接觸二重積分的同學(xué)來說，簡(jiǎn)單的例題是理解和掌握這一概念的關(guān)鍵。今天，我們就來看看幾個(gè)典型的二重積分例題，幫助大家更好地理解二重積分的應(yīng)用和計(jì)算方法。
問題一：計(jì)算二重積分 \(\iint_D xy \, dA\)，其中區(qū)域 \(D\) 是第一象限內(nèi)的矩形，范圍是 \(0 \leq x \leq 1\) 和 \(0 \leq y \leq 2\)。
解答：這個(gè)積分可以通過先對(duì) \(x\) 積分，再對(duì) \(y\) 積分來計(jì)算。首先，將積分寫成累次積分的形式：
\[\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} xy \, dx \, dy\]先對(duì) \(x\) 積分：
\[\int_{0}^{1} xy \, dx = y \int_{0}^{1} x \, dx = y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = y \cdot \frac{1}{2} = \frac{y}{2}\]然后對(duì) \(y\) 積分：
\[\int_{0}^{2} \frac{y}{2} \, dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} y \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\]所以，二重積分的結(jié)果是 1。
問題二：計(jì)算二重積分 \(\iint_D (x^2 + y^2) \, dA\)，其中區(qū)域 \(D\) 是以原點(diǎn)為圓心，半徑為 1 的四分之一圓。
解答：這個(gè)積分可以使用極坐標(biāo)來簡(jiǎn)化計(jì)算。在極坐標(biāo)中，\(x = r \cos \theta\)，\(y = r \sin \theta\)，且雅可比行列式的絕對(duì)值為 \(r\)。因此，積分變?yōu)椋?/p>\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} (r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta) \cdot r \, dr \, d\theta\]
簡(jiǎn)化被積函數(shù)：
\[r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r^2\]所以，積分變?yōu)椋?/p>\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} r^3 \, dr \, d\theta\]
先對(duì) \(r\) 積分：
\[\int_{0}^{1} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}\]然后對(duì) \(\theta\) 積分：
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}\]所以，二重積分的結(jié)果是 \(\frac{\pi}{8}\)。
問題三：計(jì)算二重積分 \(\iint_D e^{x+y} \, dA\)，其中區(qū)域 \(D\) 是由 \(x = 0\)，\(y = 0\)，和 \(x + y = 1\) 圍成的三角形。
解答：這個(gè)積分可以通過先對(duì) \(x\) 積分，再對(duì) \(y\) 積分來計(jì)算。首先，將積分寫成累次積分的形式：
\[\int_{0}^{1} \int_{0}^{1y} e^{x+y} \, dx \, dy\]先對(duì) \(x\) 積分：
\[\int_{0}^{1y} e^{x+y} \, dx = e^{y} \int_{0}^{1y} e^{x} \, dx = e^{y} \left[ e^{x} \right]_0^{1y} = e^{y} (e^{1y} 1) = e^{1} e^{y}\]然后對(duì) \(y\) 積分：
\[\int_{0}^{1} (e e^{y}) \, dy = e \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1} e^{y} \, dy = e \cdot 1 \left[ e^{y} \right]_0^1 = e (e 1) = 1\]所以，二重積分的結(jié)果是 1。
通過這些簡(jiǎn)單的例題，我們可以看到二重積分在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。無論是計(jì)算區(qū)域內(nèi)的平均值，還是解決物理學(xué)中的實(shí)際問題，二重積分都是一個(gè)非常有用的工具。希望這些例題能幫助大家更好地理解和掌握二重積分的計(jì)算方法。
