《兩向量垂直公式》｜你真的懂“垂直”嗎？
最近在小紅書看到一位同學(xué)發(fā)問：“老師，我算出兩個向量點積是0，它們一定垂直嗎？”——這個問題讓我心頭一顫，仿佛回到了大學(xué)微積分課上那個陽光正好、黑板粉筆灰飄浮的午后。
別急，先來個靈魂拷問：你記得兩向量垂直的數(shù)學(xué)判定標(biāo)準(zhǔn)是什么嗎？
? 答案就是：兩個向量垂直 ? 它們的點積為0。 也就是：若向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec = (x_2, y_2)$，則當(dāng)且僅當(dāng) $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ 時，$\vec{a} \perp \vec$。
舉個真實案例：我在帶學(xué)生做物理力學(xué)題時，遇到一個常見場景——一個物體靜止在斜面上，重力分解為沿斜面和垂直斜面的兩個分力。假設(shè)斜面傾角30°，重力向量是 $(0, mg)$，那么垂直斜面的分力方向應(yīng)是 $(\sin30^\circ, \cos30^\circ) = (0.5, \frac{\sqrt{3}}{2})$。
我們驗證一下是否垂直： 點積 = $0 \times 0.5 + (mg) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}mg \neq 0$？等等！這不對啊……
別慌！問題出在——我忘了把重力向量旋轉(zhuǎn)到與斜面平行/垂直的方向！正確的做法是：將重力向量按坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)30°后，再計算點積，你會發(fā)現(xiàn)那兩個分力確實點積為0，完美符合垂直條件。
所以你看，不是公式錯了，而是我們常常忽略了向量的坐標(biāo)系前提。這也是為什么很多同學(xué)考試總錯在“看似垂直實則不垂直”的陷阱題里。
?? 小貼士： 向量垂直 ≠ 圖形看起來垂直（比如手機(jī)屏幕上的圖） 必須用坐標(biāo)代入點積公式驗證 若在三維空間，公式擴(kuò)展為：$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$
最后送一句我常對粉絲說的：“數(shù)學(xué)不是冷冰冰的符號，它是你理解世界的鑰匙?！毕麓慰吹絻蓚€向量，不妨停下來算一算——說不定，它們正悄悄告訴你：該轉(zhuǎn)彎了。
?? 適合收藏轉(zhuǎn)發(fā)給正在學(xué)向量的你，或發(fā)朋友圈配文：“原來垂直，不只是眼睛看出來的?！?/p>
