《可微與可導(dǎo)的關(guān)系證明》｜一位自媒體老炮的數(shù)學(xué)小確幸
你有沒有在朋友圈看到過這樣的問題？“老師，函數(shù)在某點(diǎn)可微和可導(dǎo)到底有啥區(qū)別？”——?jiǎng)e急，今天我用一個(gè)真實(shí)案例+邏輯推導(dǎo)，帶你徹底搞懂這個(gè)看似抽象、實(shí)則超實(shí)用的微積分核心概念。
先上結(jié)論：在單變量函數(shù)中，可微 ? 可導(dǎo)！也就是說，它們是等價(jià)的。但為什么？怎么證明？讓我用最細(xì)膩的語言，帶你走一遍思維旅程。
?? 案例來了：考慮函數(shù) f(x) = |x| 在 x=0 處的情況。
你可能知道它在 x=0 不可導(dǎo)——因?yàn)樽髮?dǎo)數(shù)是 1，右導(dǎo)數(shù)是 1，左右不相等。那它可微嗎？我們來看看定義：
?? 可微的定義（本質(zhì)）：若存在常數(shù) A，使得 f(x? + h) ≈ f(x?) + A·h（當(dāng) h→0 時(shí)誤差比 h 更快趨于零）， 就說 f 在 x? 可微，且 A 就是導(dǎo)數(shù)。
對(duì) f(x)=|x| 在 x=0 做個(gè)代入試試： f(0 + h) = |h|，而 f(0) = 0，所以 |h| ≈ 0 + A·h ? |h| A·h 必須是 o(h)，即極限 lim?→? (|h| A·h)/h = 0。
但注意！這個(gè)極限分左右看： 左邊（h→0?）：(|h| A·h)/h = (h A·h)/h = 1 A 右邊（h→0?）：(|h| A·h)/h = (h A·h)/h = 1 A
要使左右極限都為 0，必須同時(shí)滿足： 1 A = 0 ? A = 1 1 A = 0 ? A = 1 矛盾！所以不存在這樣的 A —— 它不可微！
?? 所以你看，當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo)時(shí)，必然不可微；反之，如果可微，說明存在線性逼近（就是導(dǎo)數(shù)），自然就可導(dǎo)了。
? 總結(jié)一句話： 可微是“局部線性化”的能力，可導(dǎo)是“斜率存在”的表現(xiàn)，兩者在實(shí)數(shù)域下完全一致，就像一對(duì)孿生兄弟。
?? 適合發(fā)朋友圈/小紅書的金句： “你以為數(shù)學(xué)難？其實(shí)是你沒遇到對(duì)的例子?！? ——這題我講了3年，終于被學(xué)生問倒，然后我反手寫出證明，他們驚呼：“原來如此！”
如果你也曾在考研、競(jìng)賽或教學(xué)中卡在這兒，歡迎留言討論！一起把抽象變親切，讓數(shù)學(xué)不再高冷～
