你有沒有在刷題時突然被一道“拋物線焦點弦”卡??？別急，今天我用最細膩的方式，帶你一步步推導這個公式——不是冷冰冰的數(shù)學符號，而是像朋友聊天一樣，把思路講透。
Q：什么是拋物線的焦點弦？
想象你有一條標準拋物線：$ y^2 = 4px $（開口向右）。它的焦點是 $ F(p, 0) $。如果一條直線穿過焦點，和拋物線交于兩點 A、B，那么線段 AB 就叫“焦點弦”。我們想知道它的長度怎么算？
Q：怎么推導焦點弦的長度公式？
好問題！我們從一個真實案例說起：假設這條過焦點的直線斜率為 $ k $，那它方程就是 $ y = k(x p) $。把它代入拋物線方程 $ y^2 = 4px $，得到：
$$ k^2(x p)^2 = 4px $$
展開整理后變成一個關于 x 的二次方程，解出兩個交點橫坐標 $ x_1, x_2 $。然后利用兩點間距離公式，就能算出 AB 的長度。
但太繞了！其實有個更優(yōu)雅的方法：設焦點弦兩端點為 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $，因為它們都在拋物線上，滿足 $ y^2 = 4px $，且直線過焦點 $ (p, 0) $。
這時候我們可以用參數(shù)法：令 $ A( pt^2, 2pt ) $、$ B( ps^2, 2ps ) $，這是拋物線的標準參數(shù)式。因為焦點弦過焦點 $ (p, 0) $，所以三點共線，斜率相等：
$$ \frac{2pt 0}{pt^2 p} = \frac{2ps 0}{ps^2 p} $$
化簡得 $ t + s = 1 $ —— 這是關鍵一步！意味著兩個參數(shù)互為負數(shù)加一。
現(xiàn)在算 AB 長度：用距離公式：
$$ |AB| = \sqrt{(pt^2 ps^2)^2 + (2pt 2ps)^2} $$
提取公因式后，你會發(fā)現(xiàn)最終結果是：
$$ |AB| = p(t s)^2 $$
再結合 $ t + s = 1 $，可以進一步寫成：
$$ |AB| = p\left( \sqrt{(t + s)^2 4ts} \right)^2 = p(1 + 4ts) $$
但等等！如果直接用斜率 $ k $ 表示呢？我們發(fā)現(xiàn)一個驚艷結論：
?? 焦點弦長度 = $ \frac{4p}{\sin^2\theta} $，其中 $ \theta $ 是弦與 x 軸夾角！
是不是瞬間覺得數(shù)學也有詩意？這就是為什么我在小紅書發(fā)這個推導——不是為了考試，而是想讓你看到：原來公式背后藏著這么美的邏輯鏈條。下次你遇到類似題，不只是套公式，而是能“看見”它從哪里來。
?? 記?。簲?shù)學不是死記硬背，而是理解后的頓悟。點贊收藏，下次推導時記得回來翻翻~
