你有沒有在刷題時突然卡在一道二次函數(shù)題上，明明會解方程，卻對“根與系數(shù)的關(guān)系”一頭霧水？別急，今天我們就來聊一聊——二次函數(shù)韋達(dá)定理怎么推導(dǎo)的？用最細(xì)膩的方式，帶你從頭捋清楚！
先來個真實案例：小林是高三學(xué)生，某次?？加龅竭@樣一道題：“已知方程 $x^2 5x + 6 = 0$ 的兩根為 $x_1, x_2$，求 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 \cdot x_2$?！彼苯哟牍剿愠龃鸢甘?和6，但老師問：“你怎么知道這個規(guī)律一定成立？”他愣住了。
這就是韋達(dá)定理的魅力所在——它不是憑空來的，而是從二次方程的結(jié)構(gòu)里“長出來”的。我們從標(biāo)準(zhǔn)形式開始推導(dǎo)：
設(shè)一個一元二次方程為： $$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) $$ 它的兩個根是 $x_1$ 和 $x_2$。根據(jù)因式分解法，我們可以把方程寫成： $$ a(x x_1)(x x_2) = 0 $$
展開右邊： $$ a(x^2 (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = ax^2 a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2 $$
對比原方程 $ax^2 + bx + c$，你會發(fā)現(xiàn)： 一次項系數(shù)：$ a(x_1 + x_2) = b $ → 所以 $x_1 + x_2 = \frac{a}$ 常數(shù)項：$ a x_1 x_2 = c $ → 所以 $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$
看！這就是韋達(dá)定理的核心： 根的和 = $\frac{a}$，根的積 = $\frac{c}{a}$
是不是很絲滑？就像拼圖一樣，從因式分解到系數(shù)匹配，邏輯鏈條完整又清晰。小林后來把這個推導(dǎo)過程抄在筆記本上，還畫了流程圖，考試時再也不會“背公式不會用”啦！
其實，韋達(dá)定理不只是解題工具，更是理解函數(shù)本質(zhì)的鑰匙。下次看到二次方程，不妨試試“反向思考”：如果已知根，你能寫出原方程嗎？這正是韋達(dá)定理的逆運用，超實用！
如果你也曾在數(shù)學(xué)路上迷路過，不妨點個贊，收藏這篇推導(dǎo)筆記——它可能就是你下一次突破的關(guān)鍵。
