問 xarctanx定積分

要計(jì)算 $\int_{0}^{1} x \arctan x \, dx$，我想到的方法是分部積分法。分部積分法是一種處理乘積函數(shù)積分的有效方法，尤其適用于像 $x \arctan x$ 這樣的函數(shù)。公式如下：$$\int u \, dv = uv \int v \, du$$

在這里，我需要選擇合適的 $u$ 和 $dv$。通常，選擇 $u$ 時(shí)，我們會(huì)優(yōu)先考慮容易求導(dǎo)的部分，而 $dv$ 則是容易積分的部分。對(duì)于 $x \arctan x$，我決定令：$$u = \arctan x \quad \text{和} \quad dv = x \, dx$$

接下來，我需要計(jì)算 $du$ 和 $v$：$$du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx$$$$v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$

現(xiàn)在，將這些代入分部積分公式：$$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} \, dx$$

現(xiàn)在，我需要簡(jiǎn)化并計(jì)算剩下的積分：$$\int \frac{x^2}{2(1 + x^2)} \, dx = \frac{1}{2} \int \left(1 \frac{1}{1 + x^2}\right) \, dx$$

這一步的關(guān)鍵在于將分式拆分為更簡(jiǎn)單的部分：$$\frac{x^2}{1 + x^2} = 1 \frac{1}{1 + x^2}$$

因此，積分變?yōu)椋?$\frac{1}{2} \int 1 \, dx \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$$

計(jì)算這兩個(gè)積分：$$\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2}$$$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arctan x$$

將所有部分組合起來：$$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x \left( \frac{x}{2} \frac{1}{2} \arctan x \right) + C$$

簡(jiǎn)化后得到：$$\int x \arctan x \, dx = \frac{x^2}{2} \arctan x \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x + C$$

現(xiàn)在，我們需要計(jì)算定積分 $\int_{0}^{1} x \arctan x \, dx$，即在區(qū)間 [0, 1] 上的積分。將上下限代入表達(dá)式：$$\left[ \frac{x^2}{2} \arctan x \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \arctan x \right]_{0}^{1}$$

首先，計(jì)算上限 x=1：$$\frac{1^2}{2} \arctan 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \arctan 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \frac{1}{2}$$

接下來，計(jì)算下限 x=0：$$\frac{0^2}{2} \arctan 0 \frac{0}{2} + \frac{1}{2} \arctan 0 = 0 0 + 0 = 0$$

因此，定積分的結(jié)果為：$$\left( \frac{\pi}{4} \frac{1}{2} \right) 0 = \frac{\pi}{4} \frac{1}{2}$$

這就是 $\int_{0}^{1} x \arctan x \, dx$ 的最終結(jié)果。