你有沒有過這樣的瞬間？在深夜刷題時，突然被一道三角函數(shù)題卡住，明明公式記得滾瓜爛熟，卻不知道它從哪兒來、為什么成立？今天，我們就用最細膩的方式，帶你一起“推導”同角三角函數(shù)的基本關系式——不是死記硬背，而是理解它的誕生邏輯。
Q：什么是“同角三角函數(shù)的基本關系式”？
簡單說，就是同一個角的正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）之間存在的恒等關系。比如我們常聽到的：
sin2α + cos2α = 1，
tanα = sinα / cosα。
這些公式不是憑空出現(xiàn)的，它們來自一個古老而美麗的幾何工具——單位圓。
Q：怎么從單位圓推導出 sin2α + cos2α = 1？
想象一個半徑為1的圓，圓心在原點O(0,0)。如果在圓上取一點P(x, y)，對應的角度是α（從x軸正方向逆時針旋轉），那么根據(jù)定義：
sinα = y，
cosα = x。
而點P在單位圓上，滿足方程：x2 + y2 = 1。
把sin和cos代進去，就得到：
sin2α + cos2α = 1！
是不是像一場數(shù)學魔術？其實它是坐標系里最樸實的幾何事實。
Q：那 tanα = sinα / cosα 是怎么來的？
別急，這其實是“比值”的本質。還記得初中學過的直角三角形嗎？在直角三角形中，若一個銳角為α，對邊是a，鄰邊是b，斜邊是c，那么：
sinα = a/c，
cosα = b/c，
tanα = a/b。
現(xiàn)在我們做除法：sinα / cosα = (a/c) / (b/c) = a/b = tanα。
所以，tanα = sinα / cosα，是比值之間的自然聯(lián)系，不是人為規(guī)定。
Q：這些關系式真的有用嗎？舉個真實案例！
我有個學生朋友，在備考公務員行測時遇到一道題：已知sinα = 3/5，且α在第一象限，求cosα和tanα。
他第一反應是：“哎呀，我得查表！”
但用基本關系式，直接就能算：
由 sin2α + cos2α = 1，代入得 (3/5)2 + cos2α = 1 → cos2α = 16/25 → cosα = 4/5（第一象限取正）。
再用 tanα = sinα / cosα = (3/5) / (4/5) = 3/4。
你看，幾秒搞定，還避免了死記硬背的焦慮。這才是真正的“懂了”。
所以，下次當你看到這些公式時，請記?。核鼈儾皇抢浔姆枺菐缀闻c代數(shù)交織的詩意。學會推導，你會愛上三角函數(shù)。
?? 小貼士：朋友圈發(fā)這個，配上手寫推導圖+一句“原來公式可以這樣理解”，點贊率爆表！
