你是不是也曾在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽或壓軸題中，看到有人直接用“琴生不等式”解題？然后一臉懵：“這玩意兒不是大學(xué)內(nèi)容嗎？我們高中能用嗎？”
別急，今天就來(lái)認(rèn)真聊聊——琴生不等式，高中可以直接使用嗎？
答案是：可以，但有條件！
先說(shuō)結(jié)論：如果你在高考數(shù)學(xué)中遇到一個(gè)明顯適合琴生不等式的題目（比如證明某個(gè)函數(shù)的不等關(guān)系），而且你能寫出完整的推導(dǎo)過(guò)程（包括定義域、凸函數(shù)性質(zhì)、不等式成立條件），那——完全可以！甚至老師還會(huì)給你加分！
舉個(gè)真實(shí)案例：去年我?guī)У囊晃粚W(xué)生，在模擬考中遇到一道題：
已知 $ a, b, c > 0 $，且 $ a + b + c = 1 $，求證： $$\frac{a}{1+a} + \frac{1+b} + \frac{c}{1+c} \leq \frac{3}{4}$$
這位同學(xué)一眼看出函數(shù) $ f(x) = \frac{x}{1+x} $ 在 $ x > 0 $ 上是凹函數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)小于0），于是直接套用琴生不等式：
$$f(a) + f(b) + f(c) \leq 3f\left(\frac{a+b+c}{3}\right) = 3f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1/3}{1+1/3} = \frac{3}{4}$$
完美！不僅思路清晰，還用了標(biāo)準(zhǔn)的“凸函數(shù)性質(zhì)+琴生不等式”寫法。閱卷老師當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)頭：“這孩子懂方法論！”
所以你看，關(guān)鍵不是能不能用，而是你有沒(méi)有理解它背后的邏輯。
如果你只是照搬公式，不解釋為什么適用，那可能被扣分；但如果你能寫出：“因?yàn)楹瘮?shù) $ f(x) = \frac{x}{1+x} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上是凹函數(shù)，根據(jù)琴生不等式，對(duì)正數(shù) $ a,b,c $ 有……”，這就是標(biāo)準(zhǔn)的“高階思維”表達(dá)。
?? 小貼士： 高中階段可直接使用琴生不等式，尤其在競(jìng)賽和壓軸題中。 建議搭配凸函數(shù)定義一起講，顯得更專業(yè)。 真實(shí)考試中，老師更看重你的思考路徑，而不是公式本身。
最后送大家一句我在小紅書常說(shuō)的話： “真正的高手，不是背公式的人，而是能把公式變成思想的人?！?/p>
下次看到琴生不等式，別怕，把它當(dāng)成你的“數(shù)學(xué)武器庫(kù)”里的一員猛將吧！?
