你是不是也曾在深夜刷到一個(gè)泰勒展開或冪級(jí)數(shù)時(shí)，突然卡在“收斂半徑怎么求”這個(gè)問題上？別慌，我懂你！作為一個(gè)寫了5年自媒體、帶過上千粉絲搞懂微積分的作者，今天就用最細(xì)膩的方式，帶你一步步搞定這個(gè)讓無數(shù)人頭疼的小知識(shí)點(diǎn)。
問：收斂半徑到底是什么？
簡(jiǎn)單說，就是你寫的冪級(jí)數(shù)（比如 Σ a?(x?a)?）能安心“活”多遠(yuǎn)——也就是從中心點(diǎn)出發(fā)，多遠(yuǎn)以內(nèi)它收斂（和有限），超過它就會(huì)發(fā)瘋（發(fā)散）。就像你開一家奶茶店，只能服務(wù)方圓5公里的人，再遠(yuǎn)就不行了。這5公里，就是你的“收斂半徑”。
問：那怎么算？有沒有公式？
有！兩個(gè)經(jīng)典方法：比值判別法和根值判別法。舉個(gè)真實(shí)案例：
比如你遇到級(jí)數(shù)：Σ (n! / 3?) x? —— 這是個(gè)很典型的例子，很多學(xué)生第一次做都懵。我們用比值法：
設(shè) a? = n! / 3?，則 |a??? / a?| = [(n+1)! / 3??1] ÷ [n! / 3?] = (n+1)/3
當(dāng) n → ∞，極限是 ∞，說明比值趨于無窮大，所以收斂半徑 R = 0！意思是這個(gè)級(jí)數(shù)只在 x=0 處收斂——你敢信？它連個(gè)“朋友圈”都不給，只有中心點(diǎn)能活命。
問：如果比值法算不出來呢？
那就試試根值法！比如 Σ (x? / n2)，這里直接套公式：R = 1 / lim sup √[n] |a?| = 1 / 1 = 1。所以它在 |x| < 1 收斂，|x| > 1 發(fā)散，邊界要單獨(dú)檢驗(yàn)——這是很多同學(xué)漏掉的關(guān)鍵一步！
問：我總怕自己算錯(cuò)，怎么辦？
別急，記住口訣：“比值看增長(zhǎng)，根值看整體；邊界不能忘，代入再驗(yàn)證！”我當(dāng)年也是靠這句話穩(wěn)住心態(tài)，現(xiàn)在教學(xué)生也這么講。你可以把每道題當(dāng)成一場(chǎng)心理戰(zhàn)：你不是在算數(shù)，是在練心性。
最后送你一句我常寫在筆記上的話：
“收斂半徑不是終點(diǎn)，而是你理解函數(shù)本質(zhì)的起點(diǎn)。”
如果你也在學(xué)微積分、準(zhǔn)備考研、或者只是想搞懂那些讓你焦慮的數(shù)學(xué)概念——?dú)g迎留言，我們一起慢慢變強(qiáng)。?
