錯(cuò)位排列公式是什么呢？
你有沒(méi)有遇到過(guò)這樣的場(chǎng)景？朋友聚會(huì)時(shí)，大家抽簽決定誰(shuí)送誰(shuí)禮物，結(jié)果有人抽到自己的名字——尷尬得想鉆地縫。這就是“錯(cuò)位排列”的經(jīng)典案例！很多人以為這只是個(gè)玩笑，其實(shí)它背后藏著一個(gè)超級(jí)有趣的數(shù)學(xué)公式。
先來(lái)個(gè)小定義：錯(cuò)位排列，也叫“全錯(cuò)位”或“錯(cuò)排”，是指把n個(gè)元素重新排列時(shí)，每一個(gè)元素都不在原來(lái)位置上的排列方式。比如3個(gè)人A、B、C，原本順序是ABC，錯(cuò)位排列就是讓A不在第1位、B不在第2位、C不在第3位。
那問(wèn)題來(lái)了：錯(cuò)位排列公式到底是什么？
答案是：記作 !n（讀作“n的錯(cuò)排數(shù)”），它的通用公式是：
!n = n! × (1 1/1! + 1/2! 1/3! + ... + (1)^n / n!)
聽(tīng)起來(lái)復(fù)雜？別急，我們用真實(shí)案例講清楚。
舉個(gè)??：假設(shè)你有3個(gè)朋友，每人準(zhǔn)備一份禮物，要隨機(jī)分配（不能自己拿自己的）。問(wèn)：有多少種“完全錯(cuò)位”的分配方式？
按公式計(jì)算：!3 = 3! × (1 1/1! + 1/2! 1/3!) = 6 × (1 1 + 0.5 0.1667) ≈ 6 × 0.3333 = 2
也就是說(shuō)，只有2種真正“沒(méi)人拿到自己禮物”的分配方式！是不是很神奇？現(xiàn)實(shí)中，我曾組織過(guò)一次圣誕盲盒交換，4個(gè)人參與，結(jié)果有3次都出現(xiàn)了“某人抽到自己”的情況——這說(shuō)明錯(cuò)位概率其實(shí)不高，但一旦發(fā)生，就特別扎心 ??
為什么這個(gè)公式重要？因?yàn)樗粌H出現(xiàn)在抽獎(jiǎng)、分組、發(fā)紅包這種日常場(chǎng)景中，還廣泛用于密碼學(xué)、算法設(shè)計(jì)甚至心理學(xué)實(shí)驗(yàn)里——比如研究人類(lèi)是否真的能“隨機(jī)不重復(fù)”。
小貼士：當(dāng)n變大時(shí)，!n ≈ n!/e（e≈2.718），這意味著錯(cuò)位排列的數(shù)量大約占總排列的36.8%。所以，哪怕你只做3個(gè)人的小游戲，也有接近1/3的概率會(huì)“錯(cuò)位成功”哦～
下次再遇到“抽簽翻車(chē)”，不妨笑著說(shuō)一句：“這不是失誤，這是錯(cuò)位排列的魅力！”——朋友圈發(fā)這條，絕對(duì)收獲一堆點(diǎn)贊和“原來(lái)如此”的評(píng)論 ??
